퍼센트 계산법 — 어떤 질문인지 정하면 끝난다

질문은 넷, 식은 한 줄

퍼센트 문제는 거의 다음 넷 중 하나이고, 어느 것인지 말로 옮기는 순간 절반은 끝납니다.

• 어떤 수의 몇 %인가. 80의 15%는 80 × 15 ÷ 100 = 12입니다.
• 몇 %에 해당하나. 80에 대한 12는 12 ÷ 80 × 100 = 15%입니다.
• 얼마나 올랐나. 80에서 92로 갔다면 (92 − 80) ÷ 80 × 100 = 15% 상승입니다.
• 할인 후 얼마인가. 80에서 15%를 빼면 남는 것이 85%라서 80 × 0.85 = 68이고, 깎인 값은 12입니다.

넷 다 같은 숫자 세 개가 등장합니다. 서로 바뀌어도 눈에 안 띄는 이유가 이것입니다. 가르는 방법은 둘입니다. 먼저 「무엇의」 몇 %인지 소리 내어 말해 보세요. 「의」 앞에 있는 수가 곱하거나 나눌 상대입니다. 다음으로 답의 크기를 미리 어림하세요. 100%보다 작은 비율이면 답은 원래 수보다 반드시 작으므로, 첫 질문에서 80보다 큰 답이 나왔다면 곱할 자리에서 나눈 것입니다. 이 사이트의 퍼센트 계산기가 칸 넷을 한 화면에 같이 두는 것도 같은 이유입니다. 모드를 고르는 대신 질문을 고르게 하려는 것입니다.

답을 정하는 것은 기준입니다

퍼센트에는 반드시 기준이 있고, 그 기준이 답을 정합니다. 20은 50의 40%입니다. 같은 두 수를 뒤집으면 50은 20의 250%가 됩니다. 바뀐 것은 나누는 쪽 숫자 하나뿐입니다.

「30% 올랐다」가 그 자체로는 문장이 안 되는 것도 같은 이유입니다. 지난달의 30%인지, 작년의 30%인지, 예산의 30%인지에 따라 액수가 달라집니다. 24문제 중 18개를 맞히면 75%지만, 같은 18개라도 30문제 중이면 60%입니다. 실력이 움직인 것이 아니라 분모가 움직였습니다.

평균을 낼 때도 같은 함정이 있습니다. 10명이 90%인 반과 40명이 60%인 반을 더해 2로 나누면 75%지만, 실제로는 (10 × 90 + 40 × 60) ÷ 50 = 66%입니다. 퍼센트끼리 그냥 평균 낼 수 있는 것은 뒤에 있는 사람 수가 같을 때뿐이고, 그런 경우는 드뭅니다. 분모가 안 붙은 퍼센트를 받으면 「많은가」보다 「무엇에 비해 많은가」를 먼저 물어야 합니다.

오른 만큼 내려도 제자리가 아닙니다

50% 올랐다가 50% 내리면 원래 값으로 돌아오지 않습니다. 퍼센트에서 가장 비싸게 치르는 오해입니다. 100에서 시작합니다. 50% 오르면 150입니다. 그 150에서 50%를 빼면 75이지 100이 아닙니다. 같은 50을 썼는데 두 번째 50은 커진 숫자를 기준으로 쟀기 때문입니다.

일반화됩니다. x% 올린 뒤 x% 내리면 처음보다 x² ÷ 100 퍼센트만큼 낮은 자리에 닿습니다. 10%씩이면 1%, 50%씩이면 25%가 줄어 있습니다.

되돌아가는 비율도 방향에 따라 다르고, 사람들이 적게 잡는 쪽으로 어긋납니다. 150에서 100으로 내려오는 것은 50% 하락이 아니라 33.3% 하락입니다. 반토막이 난 것이 제자리로 오려면 두 배, 즉 100%가 올라야 합니다. 25% 빠졌으면 33.3%, 80% 빠졌으면 400%가 필요합니다. 퍼센트가 두 번 움직였다면 그 사이에 기준이 바뀌지 않았는지 확인하세요. 기준이 바뀌었으면 두 퍼센트는 같은 자 위에 있지 않아서 더하거나 빼서 상쇄할 수 없습니다.

%와 %p는 다른 말입니다

퍼센트 자체가 변했을 때는 말하는 방법이 두 가지이고 나오는 숫자도 다릅니다. 3%에서 5%가 된 비율은 2%p 오른 것이면서 동시에 67% 오른 것입니다. 2는 3의 3분의 2이기 때문입니다. 둘 다 사실이고, 답하고 있는 질문이 다릅니다. %p는 두 퍼센트 사이의 간격이고, %는 출발점에 대한 변화의 비율입니다.

「비율이 2% 올랐다」가 애매한 것이 이 때문입니다. 3%에서 5%로 읽을 수도 있고, 3%에서 3.06%로 읽을 수도 있습니다. 금리, 실업률, 지지율, 점유율, 배터리 잔량에서는 갈라 쓰는 편이 낫습니다.

구별법은 단순합니다. 빼면 %p, 나누면 %입니다. 3%에서 5%라면 빼서 2%p이고, 나눠서 5 ÷ 3 ≈ 1.67이니 67% 증가입니다. 원래 비율이 작을수록 두 숫자는 크게 벌어집니다. 0.2%에서 0.4%로 가는 것은 0.2%p 상승이면서 100% 상승입니다. 두 문장 다 참이라서, 어느 쪽을 골라 말했는지가 곧 말한 사람의 의도입니다.

할인은 더하지 말고 곱하세요

겹친 할인은 더해지지 않습니다. 30% 할인 뒤에 20%를 더 깎으면 50%가 아니라 44% 할인입니다. 단계마다 남는 비율을 곱합니다. 0.7 × 0.8 = 0.56이므로 내는 돈은 56%, 깎이는 것은 44%입니다. 100짜리라면 100 → 70 → 56으로 갑니다.

순서는 결과를 바꾸지 않습니다. 곱셈이기 때문입니다. 0.8 × 0.7도 똑같이 0.56입니다. 결제 화면이 쿠폰을 어느 쪽부터 적용하든 최종 금액은 같습니다. 세금이나 수수료는 반대쪽에서 같은 곱셈에 붙어서, 30% 할인에 10% 세금이면 0.7 × 1.1 = 0.77입니다.

거꾸로 가는 것은 나눗셈입니다. 두 번 할인해서 56을 냈다면 원래 값은 56 ÷ 0.56 = 100입니다. 15% 할인으로 68을 냈다면 원래 값은 68 ÷ 0.85 = 80입니다. 100%를 넘는 할인이 없는 이유도 여기서 보입니다. 100% 할인이면 이미 내는 돈이 0이고, 그보다 더 가면 가게가 돈을 주는 쪽이 됩니다. 이 페이지의 계산기가 0에서 100을 벗어난 할인율을 받지 않는 것은, 음수 가격을 환급처럼 보여 주지 않으려는 것입니다.

계산기 없이 빨리 하는 법

암산은 두 동작이면 됩니다. 10%는 소수점을 왼쪽으로 한 칸, 1%는 두 칸 옮긴 값입니다. 나머지는 여기서 조립합니다. 46의 10%는 4.6, 5%는 그 절반인 2.3, 1%는 0.46입니다. 그래서 46의 15%는 4.6 + 2.3 = 6.9이고, 18%는 4.6 + 4.6 − 0.92 = 8.28입니다.

두 번째 동작은 뒤집기입니다. a의 b%와 b의 a%는 항상 같은 값입니다. 둘 다 a × b ÷ 100이기 때문입니다. 75의 4%는 성가시지만 4의 75%는 3이라고 바로 나옵니다. 25의 16%도 16의 25%로 바꾸면 4입니다.

떨어지기 좋은 비율로 옮긴 뒤 보정하는 것도 빠릅니다. 19%는 20%에서 1%를 빼고, 24%는 25%에서 1%를 뺍니다. 3분의 1은 33% 언저리입니다. 어림 잣대도 하나 들고 다니세요. 100%보다 작으면 답은 원래 수보다 작고, 50%는 정확히 절반입니다. 정확도만이 아니라 속도까지 올리고 싶다면, 이 사이트의 암산 테스트가 같은 곱셈과 나눗셈을 시간과 함께 냅니다.

스프레드시트에서 퍼센트가 어긋나는 이유

스프레드시트의 셀은 백분율 서식을 씌우면 안에 든 값의 100배를 보여 줍니다. 어긋남의 원인은 거의 이것 하나입니다. 값이 0.1이면 화면에는 10%로 나옵니다. 이미 10이 들어 있는 셀에 백분율 서식을 씌우면 1000%가 됩니다. 서식만 바뀌었을 뿐 값은 그대로이기 때문입니다.

수식이 읽는 것은 표시가 아니라 값입니다. 10%로 보이는 셀을 곱하면 0.1을 곱한 것이 되므로, 거기에 다시 100으로 나누면 답이 100분의 1이 됩니다. 시트마다 한 가지로 정하세요. 소수로 저장하고 백분율 서식으로 보여 주거나, 정수로 저장하고 수식 안에서 100으로 나누거나 둘 중 하나입니다. 둘을 같이 하면 안 됩니다.

오류처럼 보이지만 옳은 것도 둘 있습니다. 증감률은 (나중 − 처음) ÷ 처음이라서 처음이 0인 줄에는 증감률이 존재하지 않습니다. 셀이 항의하는 것이 정답입니다. 그리고 정수로 반올림한 퍼센트 열은 합계가 99%나 101%가 됩니다. 화면은 반올림한 값을 보여 주지만 합계는 반올림 전 값으로 계산되기 때문입니다.