Cómo Calcular Porcentajes — Son Cuatro Preguntas, No Una

Cuatro preguntas detrás de una sola palabra

Casi todo problema de porcentajes es una de cuatro preguntas, y ponerle nombre a la propia ya es la mitad del trabajo.

• Cuánto es 15% de 80. Se multiplica y se divide entre 100: 80 × 15 ÷ 100 = 12.
• Qué porcentaje de 80 es 12. Primero se divide: 12 ÷ 80 × 100 = 15.
• Algo pasó de 80 a 92, cuánto subió. La diferencia sobre el valor inicial: (92 − 80) ÷ 80 × 100 = 15.
• Cuánto se paga por 80 con 15% de descuento. Queda el 85%: 80 × 0.85 = 68, y se ahorran 12.

Los mismos tres números aparecen en las cuatro, y por eso se confunden tan fácil. Dos costumbres las mantienen separadas. La primera es decir la frase completa antes de tocar el teclado: la palabra "de" señala el número por el que se multiplica o se divide. La segunda es estimar el tamaño del resultado antes de calcularlo. Un porcentaje menor a 100 siempre da algo más pequeño que el número de partida, así que un resultado mayor a 80 en la primera pregunta significa que se dividió donde correspondía multiplicar. La calculadora de porcentajes de este sitio muestra las cuatro casillas juntas por la misma razón: uno elige la pregunta y no un modo.

La respuesta depende de cuál es la base

Todo porcentaje es un porcentaje de algo, y ese algo decide la respuesta. 20 es 40% de 50. Con el mismo par al revés, 50 es 250% de 20. No cambió nada salvo cuál de los dos números quedó debajo de la división.

Un porcentaje sin base declarada queda incompleto. La frase "los costos subieron 30%" no dice 30% de qué: del mes pasado, del año pasado o del presupuesto. Ese mismo vacío hace que dos afirmaciones verdaderas parezcan contradictorias. Acertar 18 de 24 es 75%; los mismos 18 aciertos sobre 30 preguntas son 60%. El desempeño no se movió, se movió el denominador.

La misma trampa aparece al promediar porcentajes. Un grupo de 10 personas con 90% y otro de 40 con 60% no promedian 75%. Hay que ponderarlos: (10 × 90 + 40 × 60) ÷ 50 = 66%. Los porcentajes se pueden promediar de forma directa solamente cuando los grupos que están detrás tienen el mismo tamaño, y casi nunca lo tienen. Cuando alguien entrega un porcentaje sin decir el denominador, la pregunta útil no es si es mucho, sino mucho de qué.

Subir 50% y bajar 50% no devuelve al punto de partida

Subir 50% y después bajar 50% no devuelve el valor original, y es el error con porcentajes que más caro sale. Empecemos en 100. Con 50% más queda 150. Al quitarle 50% a 150 se llega a 75, no a 100. Los dos pasos usaron el mismo 50, pero el segundo lo midió contra un número más grande.

La regla se generaliza: subir x% y después bajar x% deja el resultado por debajo del inicio en x² ÷ 100 por ciento. Subir y bajar 10% cuesta 1%. Subir y bajar 50% cuesta 25%.

La recuperación también es despareja, y en el sentido que la gente subestima. Pasar de 150 a 100 es una baja de 33.3%, no de 50%. Algo que perdió la mitad de su valor necesita duplicarse, es decir subir 100%, solamente para quedar igual que antes. Una pérdida de 25% necesita una subida de 33.3%; una de 80% necesita 400%. Cada vez que un porcentaje se mueve dos veces conviene revisar si la base se movió entre un paso y el otro. Si se movió, los dos porcentajes no están medidos con la misma regla y no se pueden sumar ni restar entre sí.

Por ciento y punto porcentual no son la misma palabra

Cuando lo que cambia es el porcentaje mismo, hay dos maneras honestas de describirlo y dan números distintos. Una tasa que pasa de 3% a 5% subió 2 puntos porcentuales, y también subió 67%, porque 2 es dos tercios de 3. Ninguna de las dos miente: responden preguntas diferentes. Los puntos miden la distancia entre dos porcentajes; el por ciento mide el cambio respecto del punto de partida.

La abreviatura "pp" existe porque decir "la tasa subió 2%" es genuinamente ambiguo: puede significar de 3% a 5%, o de 3% a 3.06%. En tasas de interés, desempleo, aprobación, participación de mercado y nivel de batería, la diferencia merece una aclaración.

Una forma rápida de no confundirlas: restar da puntos, dividir da por ciento. De 3% a 5%, la resta da 2 puntos y la división da 5 ÷ 3 ≈ 1.67, o sea 67% más. Mientras más pequeñas son las tasas, más se separan las dos lecturas. Pasar de 0.2% a 0.4% es una subida de 0.2 puntos y a la vez de 100%, y las dos frases son ciertas, así que elegir una ya es tomar posición.

Los descuentos se multiplican, nunca se suman

Los descuentos encimados no se suman. 30% de descuento y después otro 20% no es 50%, es 44%. Se multiplica lo que queda en cada paso: 0.7 × 0.8 = 0.56, así que se paga 56% y se ahorra 44%. Sobre un artículo de 100 el recorrido es 100 → 70 → 56.

El orden no cambia nada, porque a la multiplicación el orden no le importa: 0.8 × 0.7 da el mismo 0.56. Conviene saberlo cuando una caja aplica los cupones en un orden que uno no eligió. Los impuestos y los cargos entran en la misma cadena desde el otro lado: 30% de descuento con 10% de impuesto es 0.7 × 1.1 = 0.77 del precio original.

Volver hacia atrás se hace con una división. Si se pagaron 56 después de los dos descuentos, el original era 56 ÷ 0.56 = 100. Si se pagaron 68 después de un solo descuento de 15%, el original era 68 ÷ 0.85 = 80. También se ve por qué no existe un descuento mayor a 100%: con 100% ya no se paga nada, y más allá el negocio estaría entregando dinero. La calculadora de esta página rechaza las tasas fuera de 0 a 100 en lugar de mostrar un precio negativo como si fuera un reembolso.

Cómo hacerlo de memoria

Dos movimientos alcanzan para casi todo. 10% es el número con el punto decimal corrido un lugar a la izquierda, y 1% es dos lugares. Con eso se arma el resto. 10% de 46 es 4.6; 5% es la mitad, 2.3; 1% es 0.46. Entonces 15% de 46 es 4.6 + 2.3 = 6.9, y 18% es 4.6 + 4.6 − 0.92 = 8.28.

El segundo movimiento es invertir la pregunta. a% de b siempre es igual a b% de a, porque las dos cuentas son a × b ÷ 100. Hay preguntas mucho más cómodas al revés: 4% de 75 es incómodo, pero 75% de 4 es 3. 16% de 25 se convierte en 25% de 16, que da 4.

Redondear y corregir después también sirve: 19% es 20% menos 1%; 24% es 25% menos 1%; un tercio está cerca de 33%. Y conviene dejar encendido el control de sentido común: por debajo de 100% el resultado es menor que el número de partida, y 50% es exactamente la mitad. Si lo que se busca es ganar velocidad y no solamente exactitud, la prueba de cálculo mental de este sitio ejercita las mismas multiplicaciones y divisiones contra el reloj.

Por qué la hoja de cálculo muestra otro porcentaje

Una celda con formato de porcentaje muestra un número cien veces más grande que el valor que guarda, y ese solo hecho explica la mayoría de los errores de porcentaje en una hoja. El valor 0.1 se ve como 10%. Si se aplica formato de porcentaje a una celda que ya contiene 10, pasa a verse 1000%, porque cambió el formato y no el valor.

Las fórmulas leen el valor, no lo que se ve en pantalla. Multiplicar por una celda que muestra 10% es multiplicar por 0.1, así que dividir además entre 100 deja el resultado en la centésima parte del buscado. Conviene elegir una convención por hoja: o se guardan las tasas como decimales y se les aplica formato de porcentaje, o se guardan como números enteros y se divide entre 100 dentro de la fórmula. Las dos cosas juntas, nunca.

Hay dos cosas que parecen errores y no lo son. El cambio se calcula como (nuevo − viejo) ÷ viejo, así que una fila cuyo valor inicial es 0 no tiene tasa de cambio, y la celda hace bien en protestar. Y una columna de porcentajes redondeados a enteros suele sumar 99% o 101%, porque el total se calcula con los valores completos mientras la pantalla muestra los redondeados.